高等代数

¶第一章 行列式

¶1.1 二阶行列式

定义
$|A|=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}=ad-bc$

几何意义：二阶行列式的一半为三角形面积

¶1.2 三阶行列式

$|A|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ =(递归定义)a_{11} \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{21} \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{31} \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{23}\\ \end{vmatrix}\\ =(组合定义)a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23} -a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{13}$

几何意义：三阶行列式绝对值的六分之一为体积

¶1.3 n阶行列式

$|A|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ =det(A)$

$a_{i,j}$的余子式

$a_{i,j}$的代数余子式->递归定义$det(A)$

上三角行列式

下三角行列式

性质1 上（下）三角行列式的值等于其对角线元素之积

性质2 行列式某行或某列全为零，则行列式值等于零

性质3 用常数c乘以行列式的某一行或某一列，得到的行列式的值等于原行列式的c倍

性质4 交换行列式不同的两行（列），行列式的值改变符号

性质5 若行列式两行或两列成比例，则行列式的值等于零.特别，若行列式两行或两列相同，则行列式的值等于零

性质6 若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和（行列式的拆分）

性质7 行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变

¶1.4 行列式的展开和转置

$Kronecker$符号
$\delta_{ij}= \begin{cases} 1&i=j\\ 0&i \neq j\\ \end{cases}$

定理 $|A|$为$n$阶行列式，$1 \leq r,s \leq n$,则$\sum_{i=1}^{n} a_{ir}A_{is}=\delta_{rs} |A|$
对偶形式：按某行展开

转置：$A^{T}_{ij}=A_{ji}$

性质8 $|A^{T}|=|A|$

定理($Cramer$法则) 若$|A| \neq 0$,则n元线性方程组有唯一解，$x_{i}=\frac{A_{i}}{A}$,$|A_{i}|$为把第i列换成b

¶1.5 行列式的计算

降阶法、递推法、求和法、提取因子法、拆分法
Vander Monde行列式
$V_{n}= \begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&···&x_1^{n-2}&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&···&x_2^{n-2}&x_2^{n-1}\\ ·&·&·& &·&·\\ ·&·&·& &·&·\\ ·&·&·& &·&·\\ 1&x_n&x_n^2&···&x_n^{n-2}&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}$

¶1.6行列式的等价定义

常序排列、逆序排列
逆序对、逆序数$N(p)$
偶排列、奇排列

引理 对换排列$p$中任意两个元素$k_i,k_j$,排列$p$的奇偶改变
引理 若$n \geq 2$,全排列集合$S_n$中，奇偶排列数量各占一半
命题 排列$p$经过逆序数N§后得到常序排列

定理 $|A|=\sum_{k_1,k_2,···,k_n \in S_n}(-1)^{N(k_1,k_2,···,k_n)}a_{k_11}a_{k_22}···a_{k_nn}$

引理 设$(i_1,i_2,···,i_n),(j_1,j_2,···,j_n) \in S_n,a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}···a_{i_nj_n}$ 在|A|中的符号为$(-1)^{N(i_1,i_2,···,i_n)+N(j_1,j_2,···,j_n)}$

推论 按某列展开形成形如上述定理的行列式组合定义

¶1.7 Laplace定理

$k$阶子式
$k$阶子式的代数余子式

$Laplace$定理 $|A|$为$n$阶行列式，任取$k$行(列),那么含于这$k$行的全部$k$阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于$|A|$.

引理 任一$k$阶子式与其代数余子式之积的展开式的每一项都属于$|A|$的展开式

¶第二章 矩阵

¶2.1 矩阵的概念

$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ a_{m1}&a_{m2}&···&a_{mn}\\ \end{bmatrix}$

$a_{ij} \in \mathbb{R(C)}$ 实(复)矩阵

$\forall a_{ij},a_{ij}=0$，零矩阵,记为$0_{m \times n}$

若$m=n$,$A$为方阵

主对角线

对角阵记为$diag\{a_{11},a_{22}···,a_{nn}\}$

单位阵，$I_n= \begin{bmatrix} 1&0&···&0\\ 0&1&···&0\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ 0&0&···&1\\ \end{bmatrix}$

上三角阵 下三角阵

矩阵$A=B$

行向量 $(a_{i1},a_{i2},a_{i3}···a_{in})$

列向量 $\begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ ·\\ ·\\ ·\\ a_{ni} \end{pmatrix}$

$M_n(\mathbb R)$为$n$阶实方阵构成的集合

映射:$det:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R},A \rightarrow |A|=det(A)$

¶2.2 矩阵的运算

矩阵加法:交换律 结合律 零矩阵 负矩阵

矩阵数乘:数分配律 矩阵的分配律 数乘结合律 数乘单位元 数乘零元

矩阵乘法:$A_{m \times k},B_{k \times n},C_{m \times n},c_{ij}=\sum_{r=1}^k a_{ir}b_{rj}$

矩阵乘法不满足交换律，满足结合律 分配律 与数乘的相容性 单位元

矩阵的乘方:$A^rA^s=A^{r+s},(A^r)^s=A^{rs}$

矩阵乘法一般不满足消去律、整性（两个不等于零的整数相乘不等于零）

矩阵的转置$A^T$:$A^{TT}=A,(A+B)^T=A^T+B^T,(cA^T)=cA^ T,(AB)^T=B^TA^T$

复矩阵的共轭$\overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m \times n}$:$\overline{\overline{A}}=A,\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B},\overline{cA}=\overline{c}\overline{A},\overline{AB}=\overline{A}·\overline{B},\overline{A}^T=\overline{A^T}$

¶2.3 方阵的逆阵

$AB=BA=I_n$，$B$为$A$的逆阵，记为$A^{-1}$

非异阵（可逆阵） 奇异阵

只有对方阵才有逆阵的定义

非零方阵不一定有逆阵

一般而言，$A^{-1}B \neq BA^{-1}$

逆阵性质：

若A可逆，则逆阵唯一

设$A,B$,则$AB$也可逆，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

推广：设$A_1,A_2,……,A_m$均可逆,$(A_1A_2……A_m)^{-1}=A_m^{-1}……A_2^{-1}A_1^{-1}$

设$A$可逆，$c \neq 0$，则$cA$仍可逆,$(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}$

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

$(A^{-1})^{-1}=A$

对可逆阵而言，乘法消去律成立

整性对可逆阵成立

伴随阵$A^*= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&···&A_{1m}\\ A_{21}&A_{22}&···&A_{2m}\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ A_{n1}&A_{n2}&···&A_{nm}\\ \end{bmatrix}$

引理 设$A$为$n$阶方阵，$AA^*=A^*A=|A|I_n$

定理 设$A$为$n$阶方阵，$|A| \neq 0$,则$A$可逆，$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

$Cramer法则$

定理 设$A,B$为$n$阶方阵，$|AB|=|A||B|$

定理 $A$可逆等价于$|A| \neq 0$，$A$奇异等价于$|A|=0$

推论 若干矩阵相乘，其中一个不可逆，则相乘结果不可逆

$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

设$A,B$为$n$阶方阵，若$AB=I_n$,或$BA=I_n$,则$B=A^{-1}$

设$n \geq 2$,则$|A^*|=|A|^{n-1}$

¶2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

高斯消元

系数矩阵、增广矩阵

矩阵的初等变换

1.对换矩阵的两行（列）

2.矩阵某一行（列）乘上非零常数

3.矩阵某一行（列）乘上常数加到零一行（列）

若矩阵$A$通过若干次初等变换变成矩阵$B$，则称$A$相抵于$B$，记为$A \sim B$

设$A=(a_{ij})_{m \times n}$,则$A$必相抵于$\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\\\end{bmatrix}$,$0 \leq r \leq min(m,n)$

阶梯形矩阵 阶梯点

仅通过初等行变换可变为阶梯形矩阵

对单位阵实施初等变换得到三类初等阵

定理 初等变换等价于左乘（行变换）（右乘（列变换））对应初等阵

引理 初等阵都是可逆阵，且可逆阵为同类初等阵

非异阵经过初等变换仍是非异阵

奇异阵经过初等变换仍是奇异阵

¶2.5 矩阵乘积的行列式与初等变换法求逆阵

给定子集$R \in A$,$A\times A=\{(a,b)|a,b \in A\}$.
若$(a,b) \in R$，则称$a \stackrel{R}\sim b$,$a$和$b$有等价关系$R$.

等价关系 自反性 对称性 传递性

定理 矩阵的相抵关系是等价关系

定理 设$A$是$n$阶方阵，则以下结论等价：

（1）$A$为非异阵

（2）$A$的相抵标准型为$I_n$

（3）$A$只通过初等行变换或初等列变换就能变成$I_n$

（4）$A$是若干个初等阵的乘积

推论 设$A=(a_{ij})_{m\times n}$,存在$m$阶非异阵$P$，$n$阶非异阵$Q$，$PAQ=\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\\\end{bmatrix}$

¶2.6 分块矩阵

$A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&···&A_{1s}\\ A_{21}&A_{22}&···&A_{2s}\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ ·&·& &·\\ A_{r1}&A_{r2}&···&A_{rs}\\ \end{bmatrix}=(A_{ij})_{r \times s}$

分块矩阵相等定义

分块矩阵加法，数乘，矩阵乘法($A_{r\times s}\times B_{s\times k}=C_{r\times k}$)

分块矩阵共轭

推论 两个分块对角阵相乘，对角块相乘

非异分块对角阵的逆为每一块取逆

分块矩阵的初等变换：交换、非异阵乘某一分块行（列），非异阵乘某一分块行（列）加到另一分块行

分块初等阵是非异阵

分块初等变换等价于左乘（右乘）分块初等阵

第三类分块初等变换不改变行列式的值

定理 设$M=\begin{bmatrix}A^m&B\\C&D^n\end{bmatrix}$

（1）若$A$可逆，则$|M|=|A||D-CA^{-1}B|$

（2）若$D$可逆，则$|M|=|D||A-BD^{-1}C|$

（3）$|A||D-CA^{-1}B|=|D||A-BD^{-1}C|$

¶2.7 Cauchy-Binet公式

设$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times m}$

（1）若$m>n$，则$|AB|=0$

（2）若$m \leq n$，则$|AB|=\sum_{1 \leq j_1 \leq j_2 \leq ……\leq j_m \leq n}A\begin{pmatrix}1&2&···&m\\j_1&j_2&···&j_m\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}j_1&j_2&···&j_m\\1&2&···&m\end{pmatrix}$

¶第三章 线性空间

¶3.1 数域

$\mathbb{Z}\leq \mathbb{Q}\leq \mathbb{R}\leq \mathbb{C}$

数域：$K$为$\mathbb{C}$的子集且至少包含两个元素，任意两个元素的加减乘除仍然属于$K$。$\mathbb{Q,R,C}$

数环：满足加减乘，不满足除。$\mathbb{Z}$

$Q(\sqrt[n]{2})=\{a_0+a_1\sqrt[n]{2}+···+a_{n-1}\sqrt[n]{2^{n-1}}\}$是数域

$p$为素数，$Q(\sqrt{p})=\{a+b\sqrt{p}|a,b \in \mathbb{Q}\}$是数域

超越数

定理 任一数域$K$必包含有理数域$\mathbb{Q}$，即$\mathbb{Q}$是最小的数域

¶3.2 行向量和列向量

数域$K$上的$n$维行（列）向量

$K$上的$n$维行（列）向量空间

行（列）向量的加法、数乘

加法：交换律、结合律、零向量、负向量

数乘：单位元、分配律（数）、分配律（向量）、结合律

¶3.3 线性空间

设$K$为数域，$V$为非空集合，$V$上有一个加法运算：$+:V \times V \rightarrow V$，$K$关于$V$有一个数乘运算:$K \times V \rightarrow V$，且满足加法和数乘的八条性质，则称$V$为$K$上的线性（向量）空间.$V$中元素称为向量. 零向量、负向量

设$V_K$是线性空间，零向量唯一，负向量唯一，加法消去律，$0·\alpha=0$，$k·\vec0=\vec0$，$-\alpha=(-1)·\alpha$，若$k\alpha=\vec0$，则$k=0$或$\alpha=\vec0$

¶3.4 向量的线性关系

线性组合（线性表示）

线性相关、线性无关（线性独立）

线性相关和线性无关依赖于基域$K$的选取

向量组

包含零向量的向量组必线性相关

定理 设$1\leq m \leq n$

（1）若$\{\alpha_1,\alpha_2……，\alpha_m\}$线性相关，则$\{\alpha_1,\alpha_2……，\alpha_n\}$线性无关

（2）若$\{\alpha_1,\alpha_2……，\alpha_n\}$线性无关，则$\{\alpha_1,\alpha_2……，\alpha_m\}$也线性无关

若一组向量线性相关，则其中至少有一个向量是其余向量的线性组合

像一组线性无关的向量组中加入向量$\beta$，要么仍然线性无关，要么$\beta$是其他向量的线性组合.

$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+……+k_n\alpha_n$，线性表示唯一当且仅当$a_1,a_2……,a_n$线性无关.

线性组合的传递性

¶3.5 向量组的秩

向量族、向量组

极大无关组

包含非零向量的向量组必定存在极大无关组

若$A$中向量都是$B$中向量的线性组合，且$A$中向量线性无关，则$A$中向量个数小于都等于$B$

若多的向量组可用少的向量组线性表示，则多的向量组必线性相关

若$A,B$都线性无关，且$A$中向量都是$B$中向量的线性组合，$B$中向量都是$A$中向量的线性组合，则$A,B$个数相等

若$A,B$都是向量族$S$的极大无关组,则$A,B$个数相等

向量族的秩$rank(S)$或$r(S)$

可相互线性表示：等价向量组（有相等的秩）

线性空间的基，维数，$n$维线性空间（有限维/无限维）

$n$维线性空间$V$中超过$n$个向量的向量组必线性相关

若下列条件之一成立，则这$n$个向量为$n$维线性空间$V$的基

（1）这组向量线性无关

（2）$V$中任一向量都是这组向量的线性组合

$m(\leq n)$个线性无关的向量加上$n-m$个向量（属于基）得到一组基

基扩张定理：任一线性无关的向量组可扩张成一组基；子空间的基可扩张成全空间的基

¶3.6 矩阵的秩

行秩、列秩在初等变换下不变

初等行变换保持矩阵列向量极大无关组的列指标

矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，$rank(A),r(A)$

$r(A)=r(A^T)$

$r(PAQ)=r(A)$，$P,Q$均为非异阵

通过初等变化得到相抵标准型，$I_r$的$r$就是矩阵的秩

$A,B$相抵当且仅当$r(A)=r(B)$

$A \in M_{m\times n}(K)$,若$r(A)=m$当且仅当$m$个行向量线性无关，行满秩

$A \in M_{m\times n}(K)$,若$r(A)=n$当且仅当$n$个列向量线性无关，列满秩

$A \in M_n(K)$,若$r(A)=n$当且仅当$n$个行向量线性无关,$n$个列向量线性无关，满秩阵

$A \in M_n(K)$,$A$非异当且仅当$A$满秩

阶梯型矩阵，阶梯点处的列向量为极大无关组

行列向量组的秩的计算以及线性关系的判定

$r(A)=r$,$r$阶子式不等于零，所有的$r+1$阶子式全为零

¶3.7 坐标向量

设$V_K$是$n$维线性空间，$\{e_1,e_2,……,e_n\}$是一组基

用这组基表示$\alpha$唯一

映射$\phi:V\rightarrow K^n$ 双射

设$V,U$是$K$上的线性空间，$\phi:V\rightarrow U$ 双射，若$\forall \alpha,\beta \in V,k \in K$满足：

（1）$\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta)$

（2）$\phi(k\alpha)=k\phi(\alpha)$

则称$\phi：V\rightarrow U$为线性同构,简称$V$同构于$U$,记为$V\cong U$

$\phi:V\rightarrow K^n$是线性同构，则$\phi$将向量的线性组合映射为对应向量的线性组合，将线性相关向量映射为线性相关的向量，将线性无关向量映射为线性无关的向量.

向量组映射之后的秩与原来相同且极大无关组指标相同

¶3.8 基变换与过渡矩阵

过渡矩阵

形式行向量

¶3.9 子空间

¶3.10 线性方程组的解